Kaos Teorisine Giriş

Kaos Teorisi ve Kaotik Sistemler

Kaos teorisi, karmaşık ve öngörülemez sistem davranışlarının ardında yatan düzeni ve matematiksel yapıyı inceleyen disiplinler arası bir yaklaşımdır. Bu teori, fizik, matematik, biyoloji, ekonomi gibi birçok alanda, doğrusal olmayan sistemlerin dinamiklerini anlamak için kullanılır. Kaotik sistemlerin en temel özelliklerinden biri olan başlangıç koşullarına olan aşırı duyarlılık durumu, “kelebek etkisi” olarak bilinen, küçük bir olayın büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabileceğini ifade eden olgu ile özetlenebilir.

Kaos teorisi hakkında sıkça karıştırılan hususlardan biri, kaotik sistemlerin deterministik olmasıdır. Yani, bir kez başlangıç koşulları bilindiğinde, sistemin davranışları tamamen belirlenebilir. Ancak kaotik sistemlerin başlangıç koşullarına aşırı hassasiyeti, başlangıç koşullarının tam olarak bilinmesini zorlaştırır ve küçük bir belirsizlik bile sistem davranışında büyük farklara yol açabilir. Bu nedenle, kaotik sistemler görünüşte rastgele davranışlar sergiliyorsa da, aslında belirli bir düzene sahiptir.

Kaotik sistemlerin kararlılığını anlamak için kullanılan araçlardan biri, bir sistemin zaman içinde düzenli mi yoksa kaotik mi davrandığını belirlemeye yarayan Lyapunov üsleridir. Eğer bir sistemde küçük başlangıç farkları zamanla büyüyorsa, bu sistem kaotik olarak sınıflandırılır.

Zamana bağlı fark fonksiyonu yaklaşık olarak fark fonksiyonun başlangıç değeri ile Lyapunov üstel fonksiyonunun çarpımına denktir. Eğer üstel parametrelerin (λ_i) tamamı negatif ise zamanda ilerledikçe zamana bağlı fark fonksiyonu sıfıra yakınsayacağından sistem istikrarlı bir hareket gösterir, eğer üstel parametreler hem negatif hem de sıfır değerleri alıyorsa sistem periyodik bir hareket gösterir. Son olarak üstel parametrelerden en az biri pozitif ise zamanda ilerledikçe fark fonksiyonunun değeri herhangi bir sabit değere yakınsamayıp periyodik hareket de göstermeyeceğinden sistem kaotik bir hâl almış olur.

Kaotik Davranışta Bulunan Basit Mekanik ve Elektronik Sistemler

Çift Sarkaç

Çift sarkaç sistemi, iki serbest sarkacın birbirine bağlı olduğu basit bir mekanik sistemdir. Çift sarkaç, doğrusal olmayan dinamikler gösterdiği için kaotik davranış sergileyebilir. Bu sistemin hareket denklemleri, Lagrangian mekaniği kullanılarak türetilebilir:

Lagrangian ve Hareket Denklemleri

Çift sarkaç sisteminin Lagrangian’ı, kinetik ve potansiyel enerjilerin farkıdır. Sistemdeki her iki sarkacın kütlelerini m₁ ve m₂, uzunluklarını l₁ ve l₂ ve yatay eksenle yapılan açılarını θ₁ ve θ₂ ile gösterilelim:

Kinetik Enerji (T)

Her bir sarkacın kinetik enerjisi, hızının karesinin kütlesiyle çarpımının yarısıdır (basitlik için sarkaç bağlantılarını sağlayan iplerin kütlesini sıfır varsayalım). Birinci ve ikinci sarkacın hızları, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Birinci sarkacın hızı: v₁ = (d/dt) (l₁ sin(θ₁)), (d/dt) (-l₁ cos(θ₁))

İkinci sarkacın hızı: v₂ = (d/dt) (l₂ sin(θ₂)), (d/dt) (-l₂ cos(θ₂))

Bu hız bileşenleri kullanılarak kinetik enerji hesaplanabilir:

T = (1/2) m₁ l₁² θ’₁² + (1/2) m₂ l₂² θ’₂² + m₂ l₁ l₂ θ’₁ θ’₂ cos(θ₁ – θ₂)

Potansiyel Enerji (V)

Potansiyel enerji, her sarkacın referans noktasına göre yüksekliğine bağlıdır (en üst bağlantı noktasını yerçekimi potansiyeli olarak sıfır referans kabul edelim):

V = -m₁ g l₁ cos(θ₁) – m₂ g (l₁ cos(θ₁) + l₂ cos(θ₂))

Lagrangian (L)

Lagrangian, kinetik enerji ile potansiyel enerjinin farkı olarak ifade edildiğinden:

L = T – V

Buradan sistemin hareket denklemleri Euler-Lagrange denklemleriyle türetilebilir:

d/dt(∂L/∂θ’_i) – ∂L/∂θ_i = 0 (i = 1, 2)

Bu doğrusal olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklemler, çift sarkaç sisteminin dinamik davranışlarını belirler ve sistemin kaotik hareketini temsil eder.

Birinci Sarkaç İçin Hareket Denklemi:

m₁l₁²θ₁” + m₂l₁l₂θ₂” cos(θ₁ – θ₂) + m₂l₁l₂θ’₂² sin(θ₁ – θ₂) + (m₁ + m₂)g sin(θ₁) = 0

İkinci Sarkaç İçin Hareket Denklemi:

m₂l₂²θ₂” + m₂l₁l₂θ₁” cos(θ₁ – θ₂) + m₂l₁l₂θ’₁² sin(θ₁ – θ₂) + m₂g sin(θ₂) = 0

Chua Devresi

Chua devresi, kaotik davranışları modelleyen elektronik bir sistemdir. Bu devre en basiy hâliyle, doğrusal olmayan bir direnç ile herhangi bir doğrusal direnç, indüktör ve kapasitörün birleşiminden oluşur. Chua devresi, kaotik osilatörlerin klasik örneklerinden biridir ve genellikle üç ana bileşenden oluşur: indüktör (L), kapasitör (C) ve doğrusal olmayan bir direnç.

Chua Devresi

Chua devresi, kaotik davranışlar sergileyen bir elektronik devredir. Devre, bir indüktör (L), iki kapasitor (C₁ ve C₂), bir direnç (R) ve doğrusal olmayan bir direnç (Chua diyotu) içerir. Bu yapı, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin klasik bir örneği olarak kaos teorisinde yaygın olarak incelenir.

Chua Devresinin Diferansiyel Denklemleri [3]

Chua devresi, üç doğrusal olmayan diferansiyel denklemle tanımlanır:

1. 1. Kapasitör C₁ için Kirchoff Akım Denklemi:

C₁ (dv₁/dt) = (v₂ – v₁)/R – f(v₁)

1. 1. Kapasitör C₂ için Kirchoff Akım Denklemi:

C₂ (dv₂/dt) = (v₁ – v₂)/R + i_L

1. 1. İndüktördeki Potansiyel Fark İlişkisi:

L (di_L/dt) = -v₂

• V₁: Kapasitör C₁‘in uçları arasındaki potansiyel fark.
• V₂: Kapasitör C₂‘in uçları arasındaki potansiyel fark.
• i_L: İndüktör üzerinden geçen akım.
• f(V₁): Chua diyotunun üzerinden geçen akımı tanımlayan doğrusal olmayan fonksiyon.

Doğrusal Olmayan Chua Diyotu

Chua diyotu, devrenin doğrusal olmayan davranışlarını kontrol eden bir elemandır. Diyotun akım-gerilim karakteristiği şu şekilde ifade edilir:

f(v₁) = G_b v₁ + 0.5 (G_a – G_b) (|v₁ + B_p| – |v₁ – B_p|)

• G_a: Negatif direnç eğimini temsil eder. Chua diyodunun merkezi (düşük genlikli gerilim) bölgesindeki davranışlarını belirler ve kaotik dalgalanmaların ortaya çıkmasına neden olur.
• G_b: Pozitif direnç eğimini temsil eder. Yüksek genlikli gerilim bölgelerinde devrenin stabil davranmasını sağlar.
• B_p: Kırılma (breakpoint) gerilim değerini belirler. Bu değer, farklı eğim bölgeleri arasında geçiş yapılan gerilim seviyesini ifade eder.

Chua devresi, genellikle kaotik osilatörler ve fraktal davranışların incelendiği bir test ortamı olarak kullanılır. Bu sistemde, doğrusal olmayan bileşenlerin varlığı, devrenin uzun vadeli davranışını belirler ve küçük parametre değişiklikleri, sistemin büyük ölçüde farklı bir davranış sergilemesine yol açarak sistemin kaotik doğasının varlığını göstermiş olur.

Tıp ve Biyolojide Kaos Teorisi

Kaos teorisi, biyoloji ve tıpta karmaşık sistemlerin dinamiklerini anlamada devrim niteliğinde bir yaklaşım sunar. Sinir sistemi, kalp ritmi ve nörolojik süreçler gibi biyolojik sistemlerde kaotik davranışlar gözlemlenebilir. Bu sistemlerdeki görünüşte rastgele olayların altında, belirli bir düzen içeren düşük boyutlu kaos bulunabilir [4].

Beyin: Elektrofizyolojik ölçümler (ör. EEG) ile beyin aktiviteleri kaotik analizle incelenebilir. Kaos teorisi, epileptik nöbetlerin ve bilişsel süreçlerin daha iyi anlaşılmasına katkı sağlar. Olaya İlişkin Potansiyellerde (ERP), yeni veya tanıdık bir uyarıcıya bağlı olarak kaotik boyut değişimleri gözlemlenebilir. Tanıdık uyarıcıya bağlı olarak beynimizin kaotik boyut değiştirmesi (boyut azaltılması veya boyut artışı), diğer bir deyişle sistemin kompleksitesini (serbestlik derecesini) değiştirmesi, uyarıcı sinyallerin beyindeki işlenme süreci için neden gereklidir; bu soru henüz cevaplanabilmiş değil.

Kalp: Kalp ritmindeki dalgalanmalar (R-R aralıkları) kaotik dinamiklerle modellenebilir. Özellikle Ventriküler Fibrilasyon (VF) gibi ölümcül olayların öngörülmesinde PD2 algoritması kullanılabilir. Araştırmalar, VF öncesinde korelasyon boyutunda belirgin bir düşüş olduğunu göstermiştir.

Kaos teorisi, biyolojik sistemlerin yalnızca karmaşıklığını açıklamakla kalmaz, aynı zamanda bu karmaşıklığı yönetmek ve patolojik durumları öngörmek için ilerleyen teknolojinin de yardımıyla yeni teşhis ve tedavi araçları sunar.

Kimyasal Sistemlerde Kaos Teorisi

Kaos teorisi, kimyasal reaksiyonlarda gözlemlenen karmaşık ve öngörülemez dinamikleri açıklamada oldukça önemli bir rol oynar. Örneğin, sürekli karıştırılan tank reaktörlerinde (CSTR-continuously stirred tank reactor) meydana gelen B-Z tipi reaksiyonlar (Belousov-Zhabotinsky reaksiyonu), kaotik osilasyonların açıkça gözlemlenebileceği kimyasal sistemlerdir.

Bu sistemlerde, akış hızı ve reaktan konsantrasyonlarının değişimi, reaksiyon dinamiklerinde ardışık osilasyonlar, periyodik ve kaotik rejimler gibi farklı davranışlara neden olur. O-hidroksiasetofenon (OAP), bromat (BrO₃^–), serik iyon (Ce⁴⁺) ve sülfürik asit (H₂SO₄) içeren bir sistemde yapılan deney şu bulguları ortaya koymuştur: [5]

Osilasyon Rejimleri

Düşük akış hızında sistem düşük frekanslı osilasyonlar gösterir. Akış hızı arttıkça sistem, periyodik osilasyonlardan kaotik rejime geçiş yapar. Kaotik rejimden sonra sistem, tekrar periyodik osilasyonlar sergileyerek stabil bir yüksek frekanslı rejime ulaşır. Bu süreçte, düşük frekanslı osilasyonlar genellikle düşük oksidasyon potansiyeline sahipken, yüksek frekanslı osilasyonlar daha yüksek oksidasyon potansiyelinde gerçekleşir.

Sistemdeki kaotik davranış, bromat ve katalizör konsantrasyonlarının karmaşık geri besleme mekanizmalarıyla kontrol edilmesiyle ortaya çıkar. İki ayrı reaksiyon türü, sistemin farklı bölgelerinde baskın hale gelir:

• Düşük frekans rejimi: Negatif geri besleme mekanizmaları, sistemi düşük oksidasyon potansiyeline yönlendirir.
• Yüksek frekans rejimi: Bromlu bileşiklerin oksidasyonu ve halkasal yapıların bromlanması sonucu yüksek oksidasyon potansiyeli oluşur.

Kaosun Karakterizasyonu

Kaotik davranış, bifürkasyon diyagramları ve osilasyon genliklerinin analiz edilmesiyle belirlenir. Sistem frekansı, kaotik rejime geçerken artar ve ardından yüksek frekanslı osilasyonlara doğru azalır.

Kaos teorisinin bu tür kimyasal sistemlerdeki uygulamaları, yalnızca reaksiyon dinamiklerini anlamamızı mümkün kılmaz, aynı zamanda endüstriyel süreçlerin optimizasyonunda ve reaksiyon kontrol mekanizmalarının geliştirilmesinde bize önemli fırsatlar sunar.

Finansal Sistemlerde Kaos Teorisi [6]

Kaos teorisi, finansal piyasalarda görülen karmaşık ve tahmin edilemez hareketleri anlamamıza yardımcı olur. Geleneksel finans teorileri, piyasa hareketlerini geçmiş eğilimlere dayanarak tahmin etmeye (beklenen değer hesabı, expectation) çalışır, ancak kaos teorisi, olayların yeniden tekrarı ve dalga yayılımını dikkate alarak daha isabetli tahminler yapmayı hedefler.

Fraktal davranış, piyasalardaki fiyat ve getiri değişimlerinin lognormal dağılmadığını ve bu nedenle daha etkili tahmin yöntemlerinin kullanılabileceğini ve kullanılması gerektiğini gösterir. Bu yaklaşım, finansal piyasaların hareketlerinin sadece geçmiş verilere dayanarak değil, olayların tekrar etmesi ve yayılan dalgalarla tahmin edilmesi gerektiğini savunur.

Kaos teorisi, finansal piyasaların dinamik yapısına odaklanarak, piyasa hareketlerinin öngörülemeyen ancak tekrar eden döngülerle ilerlediğini kabul eder. Bu durum, finansal piyasalardaki kaosun neden kontrol edilemez göründüğünü ancak yine de belirli araçlarla yönetilebileceğini açıklar.

Finansal piyasalarda fraktal özellikler, piyasaların ve borsaların kendi kendini yeniden üretme sürecini gösterir. Bir borsa büyüdükçe yeni hizmetler ve hisse senetleri eklenir. Ancak, zamanla bazı borsalar küçülüp yok olabilir. Kripto para borsaları gibi yeni yapılar, bu fraktal süreçlere örnek olarak kendilerini yeniden üretir ve genişler.

Kaos teorisi, finansal piyasaların karmaşık yapısını daha iyi analiz etmemize ve bu yapıları en optimal şekilde yönetmemize yardımcı olur. Fraktal analiz ve kaos teorisi, piyasalardaki değişimlerin ve gelişimlerin nasıl gerçekleştiğini anlamak için günümüzdeki önemli finansal analiz araçlarındandır.

Hava Durumu Tahminlerinde Kaos Teorisi [7]

Hava durumu tahminleri, atmosferin karmaşık ve dinamik yapısının anlaşılabilmesi için gelişmiş hesaplama tekniklerine dayanır. Hava durumu tahminleri yapmak için kullanılan modellerden biri, ECMWF (Avrupa Orta Uzay Hava Durumu Merkezi) tarafından kullanılan yüksek çözünürlüklü bir modeldir. Bu model, dünya genelindeki meteorolojik gözlemleri bir araya getirerek atmosferin başlangıç koşullarını tahmin eder. Gözlemler, hava balonları, uçaklar, gemiler ve uydulardan gelen verilerle yapılır ve bu veriler, sistemin doğru bir şekilde tahmin edilebilmesi için işlenir.

Bu veriler doğrudan modelin içine entegre edilmeden önce “veri asimilasyonu” adı verilen bir işlemle işlenir. Bu işlem, verilerin tutarlı ve doğru bir şekilde modelle uyumlu hale getirilmesini sağlar. ECMWF, atmosferin gerçek durumunu daha doğru tahmin etmek için 4 boyutlu bir veri asimilasyonu şeması kullanır. Bu sayede, atmosferdeki hava koşullarının doğru bir şekilde modellenmesi mümkün olur.

Model, atmosferdeki dinamik süreçleri doğru bir şekilde hesaplamak için spektral yöntemler ve sonlu fark tekniklerini kullanır. Örneğin, atmosferdeki basınç, hız ve nem gibi değişkenler grid noktaları üzerinde hesaplanır. Bu hesaplamalar, fiziksel süreçlerin doğru bir şekilde yansıtılması için oldukça önemlidir. Ayrıca, modelin dinamik hesaplamalarını yaparken, atmosferin daha küçük ölçeklerdeki fiziksel süreçleri (örneğin radyasyon, nem dönüşümü ve türbülans gibi) de dikkate alır.

 

Bu modelleme süreci, hava durumu tahminlerini daha doğru hale getirebilmek için karmaşık veri işleme yöntemlerinin nasıl kullanıldığını ve atmosferin davranışlarını daha iyi anlayabilmemizi sağlar. Kaos teorisi burada önemli bir rol oynar çünkü atmosferdeki küçük değişiklikler, büyük etkiler yaratabilir ve sonucunda kaotik davranışlara yol açabilir. Bu nedenle, hava durumu tahminlerinde kaos teorisinin uygulanması, doğru ve güvenilir tahminlerin yapılabilmesi için büyük bir yardımcı araçtır.

Sonuç

Kaos teorisi, yalnızca fizik ve matematik gibi bilimlerde değil, aynı zamanda hava durumu tahmini, biyoloji, ekonomi ve mühendislik gibi alanlarda da geniş bir uygulama alanına sahiptir. Bu teori, karmaşık sistemlerin ardındaki matematiksel düzeni anlamamızı sağlayarak, kaotik davranışların doğasını inceleyebilmek için bize eşsiz bir imkân sunar.

Kaotik sistemlerin öngörülemezliği, rastgele oldukları anlamına gelmez; sistemlerin başlangıç koşulları hakkındaki bilgilerimizin eksik olduğu anlamına gelir. Doğal ve beşerî sistemlerin kaos teorisi yardımıyla yorumlanması, bu sistemlerin içindeki gizli (!) olan düzeni ve bu düzenin çözümlenmesi için gerekli olan aklımızın, bilgilerimizin henüz tam manada yeterli olmadığını ortaya çıkarır.

Kaynakça

1. Assencio, D. (2014). A double pendulum. [Fotoğraf]. https://dassencio.org/46 ↩︎
2. (2024). Chua’s circuit. [Fotoğraf]. Vikipedi. https://en.wikipedia.org/wiki/Chua%27s_circuit ↩︎
3. T. Matsumoto, “A chaotic attractor from Chua’s circuit,” in IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 31, no. 12, pp. 1055-1058, December 1984, doi: 10.1109/TCS.1984.1085459. ↩︎
4. Skinner, J.E., Molnar, M., Vybiral, T. et al. Application of chaos theory to biology and medicine. Integrative Physiological and Behavioral Science, 27, 39–53 (1992). https://doi.org/10.1007/BF02691091 ↩︎
5. Srivastava, R., Srivastava, P.K. & Chattopadhyay, J. Chaos in a chemical system. Eur. Phys. J. Spec. Top. 222, 777–783 (2013). https://doi.org/10.1140/epjst/e2013-01881-4 ↩︎
6. Klioutchnikov, I., Sigova, M., & Beizerov, N. (2017). Chaos theory in finance. Procedia Computer Science, 119, 368-375. https://doi.org/10.1016/j.procs.2017.11.196. ↩︎
7. Buizza, R.. (2001). Chaos and weather prediction – A review of recent advances in Numerical Weather Prediction: Ensemble forecasting and adaptive observation targeting. Il Nuovo Cimento C. 24. ↩︎