Oyunlar Kuramı

Görseldeki John Nash, 1949 yılında hazırladığı doktora tezi olan Oyunlar Teorisi ile 1994 yılının Nobel Ekonomi Ödülü’nü kazanmıştır.

Oyunlar teorisi ilk dinlediğim anda içimde büyük heyecan yaratan ve herkesin seveceğini düşündüğüm bir konu, bana göre matematiğin keyifli kısmıdır. Bu yazımızda sizlere lise seviyesinde her öğrencinin rahatlıkla anlayabileceği düzeyde, konuyu en basit haliyle aktaracağım.

Oyun 1:

Rastgele bir X sayısından başlayan ve X’den isteğe bağlı 1 veya 2 çıkarılarak devam edilen, sıfır diyenin kaybettiği bir oyun hayal edelim. Hamleler: (-1, -2) Kural: Sıfır diyen, demek zorunda kalan kaybeder.

Somut örneklerle, görerek daha iyi anlaşıldığını gözlemliyorum. Bir örnekle devam edelim. 14, Kemal: 14-1=13, Mustafa: 13-2=11, Kemal: 11-1=10, Mustafa: 10-1=9, Kemal: 9-2=7, Mustafa: 7-2=5, Kemal: 5-1=4, Mustafa: 4-1=3, Kemal: 3-2=1, Mustafa: 1-1=SIFIR (Mustafa Oyunu Kaybetti)

Yukarıda incelediğimiz örnekte Mustafa hangi hataları yaptığı için kaybetti? Ne yapsaydı bu oyunu kazanabilirdi? Kazanmak için şansı var mıydı? Hangi durumlarda hangi hamleleri yapmalı? Hamleleri ezberlemeli miyiz, yoksa kendimiz oyunu çözebilir miyiz?

-Mustafa’nın kazanma şansı hiç olmadı, Kemal oyunu bilen taraftı ve her zaman doğru sayıyı kapattı. Nasıl? Tersten çözümleyelim.

• 0 diyen kaybediyorsa 1 diyen kazanır. Çünkü 1 dedikten sonra karşıdakinin 0’dan başka alternatifi olmaz.
• 1 diyen kazanıyorsa, 2 ve 3 diyen kaybeder. Çünkü 2 veya 3’ü söyledikten sonra karşı taraf 1 diyebilir.
• 2 ve 3’ü söyleyen kaybediyorsa. 4 diyen kazanır çünkü karşıdakinin 2 veya 3 demekten başka şansı kalmaz.
• … Bu şekilde uzar gider. 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 gibi 3x+1 cinsinde sayıları üst üste söyleyen oyunu her zaman kazanır.

3x+1 nereden geliyor? Bu oyunda sihirli sayı ”-3” rakip ne söylerse söylesin, biz bir önceki sayıdan 3 eksiğine denk getirebiliyoruz. 1 çıkartırsa 2, 2 çıkartırsa 1 çıkartabiliriz.

Kazanmak için tek yapmamız gereken 3x+1 cinsinden bir sayı ile başlandığında ilk çıkartmayı rakibe yaptırmak. 3x veya 3x+2 cinsinden bir sayı ile başlandığında ilk çıkartmayı biz yapıp 3x+1 cinsinden bir sayı söylemek, ve ardından hep bir önceki söylediğimiz sayıdan 3 eksiğini söylemek. Bu oyunda kazanan her daim kazanıyor. Kaybedenin yapabileceği bir şey yok.

Oyun 2:

Yine rastgele bir X sayısından başlayan ve X’den isteğe bağlı 1, 2 veya 3 çıkarılarak devam edilen, sıfır diyenin kaybettiği bir oyun hayal edelim. Hamleler: (-1, -2, -3) Kural: Sıfır demek zorunda kalan kaybeder.

Önce kendiniz çözümlemeye çalışın.

Sihirli sayımız ”-4”. Rakip 1 çıkartırsa 3, 2 çıkartırsa 2, 3 çıkartırsa 1 çıkartarak bir önceki sayının 4 eksiğini yakalayabiliriz. 4x+1 cinsi sayılardan ilerlerleyen oyuncu her zaman oyunu kazanır.

Oyun 3:

Rastgele X sayısından başlayan ve X’den isteğe bağlı 1, 2 veya 3 çıkarılarak devam edilen, sıfır diyenin bu sefer kazandığı bir oyun hayal edelim. Hamleler: (-1, -2, -3) Kural: Sıfır diyebilen kazanır.

• 0 diyen kazanıyorsa 1, 2 ve 3 diyen kaybeder. Çünkü rakibe 0 deme imkanı tanır.
• 1, 2 ve 3 diyen kaybediyorsa 4 diyen kazanır. Çünkü rakibe 1, 2 ve 3’den başka şans bırakmaz.
• … Bu şekilde gider. 4x cinsi sayılardan devam eden oyuncu her zaman kazanır.

Oyun 4:

Sıfırdan başlayan ve isteğe bağlı 1, 2 , 3, …10 eklenerek devam edilen, 100 diyenin kazandığı bir oyun hayal edelim. Hamleler: (1, 2, 3, …10) Kural: 100 diyebilen kazanır.

100 diyen kazanıyorsa 100-11=89 diyen de kazanır, 78 diyen de, 67, 56, 45, …1 diyen de kazanır. O halde bu oyunu başlayan doğru oynarsa kazanır. 11x+1 formülümüz.

Kendi Oyununu Oluştur:

Sistemin mantığını hallettiğimize göre siz de kendi oyununuzu oluşturup kazanan sayıları kapatmanın yöntemini arayabilirsiniz.

Kaynakça:

https://www.youtube.com/watch?v=y8dftnWEtn4

https://www.youtube.com/watch?v=om8Y_KlC6dw

Görseller:

https://morfikirler.com/uploads/cache/john-nash-kimdir-825×450.jpg