Alman Tank Problemi, İkinci Dünya Savaşı sırasında İngiliz istihbarat kaynaklarından gelen bilginin doğruluğunu kontrol etmek için ortaya çıkmış bir problemdir.
1939 yılından itibaren Almanlar Avrupa’nın dört bir yana saldırmaya başlamıştı. Bu sırada her cephede çok sayıda Alman tankı görülmekteydi. Batı Müttefiklerinin doğru stratejiyi geliştirmek için Almanların tank üretim kapsamını bilmeleri gerekiyordu. Savaşın ortasında, istihbarat teşkilatlarının sahadan getirdiği raporlarda Almanların ayda 1000-1500 gibi çok yüksek sayılarda tank üretimi yaptığı yazıyordu. Bu veriye cephedeki askerlerden ve işgal edilmiş ülkelerden alınan bilgiler vasıtasıyla ulaşılmıştı. Ortalama bir tankın gerektirdiği iş gücü ve maliyet göz önünde bulundurulduğunda kamuoyunda Almanların yenilmez olduğuna dair bir algı oluşmuştu. İstihbaratçıların güvenilirliği ve Alman propagandalarını bir yana koyalım ortada bir gerçek vardı ki Batı Müttefikleri, Almanların devasa miktarda tank üretimi yaptığına inandırılmak istenmişti. Matematik ve istatistik tam da bu noktada devreye girdi ve belki de bir savaşın kaderini değiştirdi.
Alman tankları fabrikadan şifrelenmiş seri numarası ile çıkmaktaydı. Kriptolojiyi kullanarak bu şifreyi çözen İngiliz matematikçiler kimi zaman tank paletinin seri numarasından, kimi zaman motorunun seri numarasından yararlanıp tankların 1’den n’ye kadar sayma sayıları kullanılarak numaralandığını fark ettiler. Bu daha sonra onları şu soruyu sormaya götürdü: ele geçirdiğimiz veya yok ettiğimiz tankların seri numarasından yola çıkarak toplam tank sayısına en yakın tahmini nasıl yapabiliriz? Cevabını iki farklı yaklaşımda buldular. Frekansçı yaklaşım ve Bayes’çi yaklaşım. Bu yazımız sadece frekansçı yaklaşımı ele alacak. Merak etmeyin ikisinde de çıkan sonuçlar birbirine oldukça yakındır.
Yukarıda bazı spesifik tarihlerde istihbarat teşkilatının ve matematikçilerin yaptığı tahminler var. İstatistiğin gerçek verilere ne kadar yaklaştığı son derece çarpıcı. Bir diğer çarpıcı nokta ise istihbarat raporları ile matematikçilerin tahmini arasındaki uyumsuzluk. Batı Müttefikleri eğer planlarını yalnızca istihbarat raporlarından yola çıkara yapsaydı bambaşka bir gerçeklik ile karşılaşacaklardı.
Şimdi, hikayenin tarihsel sürecinden biraz kopup işin matematiğine odaklanalım. Basitçe ifade edecek olursak, elimizde bir torba ve bu torbanın içerisinde 1’den n’ye kadar numaralandırılmış bilinmeyen sayıda top olduğunu varsayalım. Torbadan rastgele bir top çekiyoruz. Varsayalım ki 25 numaralı topu çektik. Sorumuz burada başlıyor: Torbada kaç top vardı? 25 numaralı topu çektiğimize göre N ≥ 25‘dir fakat herhangi bir üst sınırdan bahsedebilir miyiz? (Torbaya en fazla ne kadar top sığabilir diye düşünmeyin, bu matematiksel bir torba.) N = 26,27,28 cevaplarının hepsi eşit derece olabilir. Kısaca, her seferinde kesin olarak gerçek veriyle eşleşen bir formül oluşturma olasılığımız yok! Yine de yapabileceğimiz en iyi tahmini yapmamız gerekiyor. Nasıl bir yaklaşım izlemeliyiz?
Beklenti kavramını açmakla başlayalım. Yazımıza en uygun tanımıyla beklenti, rassal bir değişkenin defalarca gözlendiğinde aldığı ortalama değerdir. Zar örneğinden yola çıkarsak, altılı zarı 1.000 kere atıp üstte gözüken rakamların ortalamasını alırsak bulduğumuz sonuç yaklaşık olarak zarın beklentisidir. 10.000 kere zarı atıp ortalamaya bakarsak beklentiye daha da yaklaşmış oluruz. Peki beklenti nasıl hesaplanır? Zar örneğinden devam edelim. 1’den 6’ya kadar her yüzün üste gelme ihtimali 1/6 olduğundan, her sonucu o sonucun ihtimali ile çarpıp topladığımızda beklentiyi buluruz.
25 numaralı topu çektiğimiz torbaya geri gelelim. Aynı zar örneğinde olduğu gibi torbada bulunan bütün sayıları seçme ihtimalimiz eşit. Yalnız bu sefer n farklı muhtemel sonuç var. Dolayısıyla;
Çektiğimiz topun değeri beklentiye yakın olmalıdır. Beklentiyi 25 kabul edebiliriz. Bu muhtemelen doğru olmamakla beraber elimizdeki kısıtlı gözlem ile yapılabileceğimizin en iyi tahmindir.
Yukarıdaki denklemlerden yola çıkarak, X numaralı bir top çektiğimizde torbada 2X-1 adet top olduğu tahminini yapabiliriz. Burada uyguladığımız yönteme ‘’minimum varyanslı yansız tahmin’’ denir. Bir tahminin yansız olması, o tahminin beklentisinin gerçek değere eşit olması demektir. Yani, içerisinde aynı n kadar top olan bir torbadan defalarca bir top çekip tahminimizi tekrarlar ve çıkan sonuçların oralamasını alırsak bu ortalamanın değeri n’ye eşit olacaktır.
Seçtiğimiz top sayısını yalnız bir tane iken denklem basitti. Peki ya birden fazla top çekersek? Şunu kolayca söyleyebiliriz ki gözlem sayısını arttırarak tahminin güvenilirliğini de artırmış oluruz. Yine içerisinde 1’den n’ye, n tane top olan bir torbadan bu sefer k tane rastgele top çekiliyor. Burada odaklanmamız gereken nokta çektiğimiz topların en büyüğüdür. Görece küçük numaralı topların değeri torbada kaç top olduğu hakkında ilaveten bir fikir vermez.
Yukarıdaki denklem kullanılarak birden fazla gözlemin kullanıldığı durum için en doğru tahmin yapılabilir. İçselleştirmek için bir örnek verecek olursak. 13, 37, 51, 84 numaralı (rastgele yazılmış sayılar) tankların ele geçirildiği bir durumda. Karşımızda toplam 104 adet tank olduğu tahmininde bulunabiliriz. Genel bir kitleye hitap ettiğimiz ve matematiksel kısımlarda boğulmamak için burada denklemin nereden geldiğine girmeyeceğim. Konu merak uyandırdıysa detaylarıyla araştırabileceğiniz bazı kaynakları aşağıya ekledim
Alman Tank Problemi, bilimin kritik durumlardaki uygulamasına bir örnek oluşturmaktadır. Daha birçok örnek vardır ki kimilerine göre İkinci Dünya Savaşı’nı matematik ve bilim kazanmıştır.
Kaynakça:
Matematik Dünyası Dergisi Yıl 24 Sayı 103
